CINTA_07

发表于 2022-11-18 更新于 2022-11-19 分类于 CINTA 阅读次数：

CINTA作业六：同态、第一同构定理

4、根据命题9.5，要证明$\mathbb{H}$是$\mathbb{G}$的子群，需要证明对任意$g\in\mathbb{G}$，有$g\mathbb{H}g^{-1}=\mathbb{H}$。实际上，条件可以放松到只证明$g\mathbb{H}g^{-1}\subset\mathbb{H}$。请给出证明。

证明：由题可得，$g\mathbb{H}g^{-1}\subset\mathbb{H}$

所以，对$\forall h\in\mathbb{H},\forall g\in\mathbb{G}，\exists h^{'}\in\mathbb{H}$，使得$ghg^{-1}=h^{'}$

又对任意$g^{-1}\in\mathbb{G}$，都有$g^{-1}h(g^{-1})^{-1}=h^{'}$,

所以，$h=gh^{'}g^{-1}$,

即$\mathbb{H}\subset g\mathbb{H}g^{-1}$,

所以能得到$\mathbb{H}=g\mathbb{H}g^{-1}$

由命题9.5得到，$\mathbb{H}$是$\mathbb{G}$的子群

5、定义映射$\phi:\mathbb{G}\mapsto\mathbb{G}$为：$g\mapsto g^2$。请证明$\phi$是一种群同态当且仅当$\mathbb{G}$是阿贝尔群.

证明：设映射$\phi(g)=g^2$,

所以对任意的$a,b\in\mathbb{G}$有$\phi(a\cdot b)=(a\cdot b)^2$

当且仅当$\mathbb{G}$是阿贝尔群时，存在$(a\cdot b)^2=(a\cdot b)(a\cdot b)=a^2b^2=\phi(a)\phi(b)$

即$\phi(a\cdot b)=\phi(a)\phi(b)$

6、设$\phi:\mathbb{G}\mapsto\mathbb{H}$是一种群同态。请证明：如果$\mathbb{G}$是循环群，则$\phi(\mathbb{G})$也是循环群；如果$\mathbb{G}$是交换群，则$\phi(\mathbb{G})$也是交换群。

证明：

证循环群：设$g\in\mathbb{G}$是$\mathbb{G}$的一个生成元，

所以对任意$n\in\mathbb{Z}$，$g^n\in\mathbb{G}$,

所以$\phi(g^n)=\phi(g)^n$,

所以随着$n$变化，经过$\phi$映射后都会在$\mathbb{H}$有对应的元素，

所以$\phi(g)$也是$\mathbb{H}$的一个生成元，$\mathbb{H}$也是循环群。

证交换群：任取$a,b\in\mathbb{G}$,

因为$\phi$是同态映射，

所以有$\phi(a\cdot b)=\phi(a)\phi(b)$，

因为$\mathbb{G}$是交换群，

所以$\phi(a\cdot b)=\phi(b\cdot a)=\phi(b)\phi(a)=\phi(a)\phi(b)$

所以$\mathbb{H}$也是交换群。

7、证明：如果$\mathbb{H}$是群$\mathbb{G}$上指标为2的子群，则$\mathbb{H}$是$\mathbb{G}$的正规子群。

证明：

由题可得。$[G:H]=2$,

所以$\mathbb{G}$被子群$\mathbb{H}$的所有左陪集划分为2部分，即$\mathbb{H}$和$\mathbb{G}-\mathbb{H}$两部分.

任取$g\in\mathbb{G}$,此时$g$有2种情况，

当$g\in\mathbb{H}$时,

有群的封闭性可得，任取$h\in\mathbb{H}$,存在$h^{'}\in\mathbb{H}$,使得$gh=h^{'}$,即$g\mathbb{H}=\mathbb{H}$;

同理可得，$\mathbb{H}g=\mathbb{H}$,所以$g\mathbb{H}=\mathbb{H}g$.

当$g\in\mathbb{G}-\mathbb{H}$,

左陪集与右陪集都是$\mathbb{G}-\mathbb{H}$,

所以$g\mathbb{H}=\mathbb{H}g$,

所以则$$是$$的正规子群。