CINTA_05

发表于 2022-11-03 更新于 2022-11-07 分类于 CINTA 阅读次数：

CINTA作业四

第六章

设G是群，对任意\(n\in\mathbb{N}\), \(i\in[0,n]\)，\(g_i\in\mathbb{G}\)。证明\(g_0g_1\dots g_n\) 的逆元是\(g_n^{-1}\dots g_1^{-1}g_0^{-1}\)

证明：由群公理得\(gg^{-1}=e\)，且\(eg=g\),

所以\(g_0g_1\dots g_n\)\(g_n^{-1}\dots g_1^{-1}g_0^{-1}\)

=\(g_0g_1\dots g_{n-1}eg_{n-1}^{-1}\dots g_1^{-1}g_0^{-1}\)

=\(g_0g_1\dots g_{n-1}g_{n-1}^{-1}\dots g_1^{-1}g_0^{-1}\)

=\(g_0g_1\dots g_{n-2}eg_{n-2}^{-1}\dots g_1^{-1}g_0^{-1}\)

\(\dots\)

=\(e\)；

\(g_n^{-1}\dots g_1^{-1}g_0^{-1}\)\(g_0g_1\dots g_n\)同样成立，

所以\(g_0g_1\dots g_n\)的逆元是\(g_n^{-1}\dots g_1^{-1}g_0^{-1}\)

证明：任意群\(\mathbb{G}\) 的两个子群的交集也是群\(\mathbb{G}\)的子群。

证明：证明子群，首先证明集合的元素在\(\mathbb{G}\)，再证明该集合是群。

设\(\mathbb{G_1},\mathbb{G_2}\)为群\(\mathbb{G}\)的两个子群，\(\mathbb{G_3}\)为\(\mathbb{G_1}\cap\mathbb{G_2}\),

取任意\(a\in\mathbb{G_3}\)，又\(a\in \mathbb{G_1}\cap\mathbb{G_2}\),

所以\(a\in \mathbb{G}\),

证明群公理：

封闭性，任取\(m,n\in \mathbb{G_3}\),所以\(m,n\in\mathbb{G_1},\mathbb{G_2}\),又\(\mathbb{G_1},\mathbb{G_2}是群\)

所以\(m\cdot n\in \mathbb{G_1},m\cdot n\in\mathbb{G_2}\),

所以\(m\cdot n \in\mathbb{G_1}\cap\mathbb{G_2}\),即\(m\cdot n \in\mathbb{G_3}\),符合封闭性，

单位元，因为\(\mathbb{G_1},\mathbb{G_3}都存在单位元\)，

所以\(\mathbb{G_1}\cap\mathbb{G_2}\)中也存在单位元

逆元，方法同封闭性，取\(a\in \mathbb{G_3}\),可知\(a\in\mathbb{G_2},\mathbb{G_1}\)，

所以\(a\)的逆元\(a^{-1}\in\mathbb{G_1}\)且\(a\in \mathbb{G_2}\),

所以\(a^{-1}\in\mathbb{G_1}\cap\mathbb{G_2}\),即\(a^{-1}\in\mathbb{G_3}\)

所以逆元存在，

命题得证.

\(\mathbb{G}\)是阿贝尔群，\(\mathbb{H}\) 和\(\mathbb{K}\) 是G 的子群。请证明\(\mathbb{HK} = \{hk: h \in \mathbb{H}, k \in \mathbb{K}\}\) 是群\(\mathbb{G}\)的子群。如果\(\mathbb{G}\)不是阿贝尔群，结论是否依然成立？

证明：

在\(\mathbb{HK}\)取\(h_1k_1,h_2k_2\)两个元素，

所以由题得，\(h_1k_1h_2k_2=h_1h_2k_1k_2\)，

又由群的封闭性可得\(h_1h_2\in\mathbb{H}，k_1k_2\in \mathbb{K}\),,

所以\(h_1k_1h_2k_2\in\mathbb{HK}\).

因为\((h_1k_1)^{-1}=h_1^{-1}k_1^{-1}\),\(h_1^{-1}\in\mathbb{H},k_1^{-1}\in\mathbb{K}\),

所以\(h_1^{-1}k_1^{-1}\in\mathbb{HK}\),

由以上两个条件可知,\(\mathbb{HK} = \{hk: h \in \mathbb{H}, k \in \mathbb{K}\}\) 是群\(\mathbb{G}\)的子群

若\(\mathbb{G}\)不是阿贝尔群，则第一个证明不成立，所以杰伦不成立。

11.设\(\mathbb{G}\)是阿贝尔群，\(m\)是任意整数，记\(\mathbb{G}^m = \{ g^m: g\in \mathbb{G}\}\)。请证明\(\mathbb{G}^m\)是\(\mathbb{G}\)的一个子群。

证明：方法同上，证明\(\mathbb{G}^{m}\)符合命题6、8即可证明

任取\(g_1^{m},g_2^{m}\in\mathbb{G}^{m}\),且\(g_1,g_2\in\mathbb{G}\),

所以\(g_1^{m}g_2^m=(g_1g_2)^m\),有\(g_1g_2\in\mathbb{G}\),

所以\(g_1^mg_2^m\in\mathbb{G}^m\).

因为\(g^m\in\mathbb{G}^m\),且\(g\in\mathbb{G}\),有\((g^,)^{-1}=(g^{-1})^{m}\)

又因为\(g^{-1}\in\mathbb{G}\)

所所以\((g^m)^{-1}\in\mathbb{G}^m\)

综上，命题成立。.

第七章

6、证明：如果群\(\mathbb{G}\)没有非平凡子群，则群 \(\mathbb{G}\)是循环群。

证明:有题可得，即证明：若群 \(\mathbb{G}\)不是循环群，则群\(\mathbb{G}\)有非平凡子群。

任取\(g\in\mathbb{G}\),且\(g\ne e\),

所以\(\left\langle g\right\rangle\subset G\),

可知循环群\(\left\langle g\right\rangle\)是\(G\)的非平凡子群

7、证明推论7.3，即循环群\(G\)中任意元素的阶都整除群\(G\)的阶。

证明：由命题7.5可知，

取\(h\in\mathbb{G},h=g^k\),

所以\(h\)的阶为\(n/d,d=gcd(k,n)\)

所以可得\(n/d|n\).得证。

8.编程完成以下工作：给定一个素数\(p\),找出\(\mathbb{Z}_p^*\)的最小生成元。对于素数\(1<p<10000\)，哪一个素数\(p\)使得\(\mathbb{Z}_p^*\)的最小生成元最大？

import math

# 判断素数
def pri(x):
    for y in range(2, int(math.sqrt(x))):
        if x % y == 0:
            return False
        return True

# 获取范围内素数
def getprime(num):
    listnum = []
    if num >= 2:
        listnum.append(2)
    for i in range(3, num + 1, 2):
        if pri(i):
            listnum.append(i)
    return listnum

# 生成最小生成元
def mingenerator(p):
    if not pri(p):
        return 0
    if p == 2:
        return 1
    for i in range(2, p):
        for j in range(1, p - 1):
            if int(pow(i, j)) % p == 1:
                break
        if i == p - 1:
            return i
    return 0


listnum = getprime(10000)
for i in listnum:
    j = mingenerator(i)
    print(j,end=',')

第七章

3.如果\(\mathbb{G}\)是群,\(\mathbb{H}\)是群\(\mathbb{G}\)的子群，且\([ G : H ] = 2\),请证明对任意的 \(g\in\mathbb{G},g\mathbb{H}=\mathbb{H}g\)。

证明：由题可得，\(\mathbb{G}\)被分\(\mathbb{H}\)成两部分，一个为\(\mathbb{H}\),设另一个为\(\mathbb{I}\).

设\(g\in\mathbb{H}\),所以\(g^{-1}\in\mathbb{G}\),

所以对于\(g\mathbb{H}g^{-1}\),存在\(g\mathbb{H}=\mathbb{H},\mathbb{H}g^{-1}=\mathbb{H}\),

所以\(g\mathbb{H}g^{-1}=\mathbb{H}\)

即\(g\mathbb{H}g^{-1}g=\mathbb{H}g\to g\mathbb{H}\),

当\(g\in\mathbb{K}\),所以\(g^{-1}\in \mathbb{K}\),

所以对于\(g\mathbb{H}g^{-1}\),有\(g\mathbb{H}=\mathbb{K},\mathbb{K}g^{-1}=\mathbb{H}\),

所以\(g\mathbb{H}g^{-1}=\mathbb{H}\),

即\(g\mathbb{H}g^{-1}g=\mathbb{H}g\),即是\(g\mathbb{H}\),

得证

4.设\(\mathbb{G}\)是阶为\(pq\)的群，其中\(p\)和\(q\)是素数。请证明\(\mathbb{G}\)的任意真子群是循环群。

证明：任取子群\(\mathbb{H}\),有拉格朗定理得，\(|\mathbb{H}|\ |\ |\mathbb{G}|\),

因为\(|\mathbb{G}|=pq,pq\)为素数，

所以\(|\mathbb{H}|=p\)或\(q\),

由推论8.2可知\(\mathbb{H}\)是循环群，

所以得证

5.如果群\(\mathbb{H}\)是有限群\(\mathbb{G}\)的真子群，即存在\(g\in \mathbb{G}\)但是\(g\not\in\mathbb{H}\)。请证明\(\vert \mathbb{H} \vert \leq \vert \mathbb{G} \vert \ /2\)

证明：因为\(g\in\mathbb{G}\),但是\(g\notin\mathbb{H}\),

所以\(\mathbb{H}\)的左陪集至少有2个，

有拉格朗日定理得\(|\mathbb{G}|/|\mathbb{H}|=[\mathbb{G}:\mathbb{H}]\ge2\).

所以\(\vert \mathbb{H} \vert \leq \vert \mathbb{G} \vert \ /2\)，

得证.s