CINTA_6

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CINTA作业 五：同构

一、命题9.1：

设\(\phi:\mathbb{G}\mapsto\mathbb{H}\)从群\(\mathbb{G}\)到群\(\mathbb{H}\)的一种同构映射，一下命题为真：

1、\(\phi^{-1};\mathbb{H}\mapsto\mathbb{G}也是同构\)

2、\(|\mathbb{G}|=|\mathbb{H}|\);

3、如果\(\mathbb{G}\)是阿贝尔群，则\(\mathbb{H}\)也是阿贝尔群;

4、如果\(\mathbb{G}\)是循环群，则\(\mathbb{H}\)也是循环群;

5、如果\(\mathbb{G}\)有阶为\(n\)的子群，则\(\mathbb{H}\)也有阶为\(n\)的子群。

证明：

由定义可得\(\phi\)是一种双射，所以\(\mathbb{G}\)中的元素与\(\mathbb{H}\)中的元素一一对应.

所以\(\phi^{-1}\)是从\(\mathbb{H}\)到\(\mathbb{G}\)的一种双射，

所以\(\phi^{-1}\)是\(\mathbb{H}\mapsto\mathbb{G}\)的同构，1得证.

由1可得\(\phi^{-1}\)与\(\phi\)都是同构映射。

所以\(\mathbb{H},\mathbb{G}\)的元素一一对应,

所以\(|\mathbb{H}|=|\mathbb{G}|\),2得证.

由同构的定义得，任取\(a,b\in\mathbb{G}\),

有\(\phi(a\cdot b)=\phi(a)\phi(b)\),又\(\mathbb{G}\)是阿贝尔群，

所以\(\phi(a\cdot b)=\phi(b\cdot a)=\phi(b)\phi(a)=\phi(a)\phi(b)\)

所以\(\mathbb{H}\)也是阿贝尔群，3得证.

因为\(\mathbb{G}\)是循环群，设\(g\)是\(\mathbb{G}\)的一个生成元，

所以，对\(\forall a\in\mathbb{G}\),都有\(a=g^m,m\in\mathbb{Z}\),

又\(\phi(g^m)=\phi(g)^m\),且\(\phi\)是双射，

所以\(\phi(g)^m\)可对应\(\mathbb{H}\)中的任意一个元素，

所有\(\phi(g)\)也是\(\mathbb{H}\)的一个生成元，所以\(\mathbb{H}\)也是循环群.4得证.

设\(\mathbb{G_1}\)是\(\mathbb{G}\)的一个\(n\)阶子群，任取\(a,b\in\mathbb{G}_1\),由群公理可知\(a^{-1},b^{-1}\in\mathbb{G}_1\),

所以通过双射可得\(\phi(a),\phi(b),\phi(a^{-1}),\phi(b^{-1})\in\mathbb{G_1}\)

且有\(\phi(ab)=\phi(a)\phi(b)\),\(\mathbb{G_1}\)中也存在单位元，

所以符合群公理，由\(\mathbb{G_1}\)通过双射\(\phi\)得到的集合\(\mathbb{G_1^{'}}\)是群，

又因为\(\phi\)是双射，所以\(|\mathbb{G_1}|=|\mathbb{G_1^{'}}|=n\)，5得证.

二、命题9.2:所有无限阶的循环群都同构于群\(\mathbb{Z}\)

证明：

设群\(\mathbb{G}\)是一个无限阶的循环群，\(g\in\mathbb{G}\)是生成元。定义\(\phi:\mathbb{Z}\mapsto\mathbb{G}\)为\(\phi:n\mapsto g^n\).

所以有\(\phi(m+n)=g^{m+n}=g^mg^n=\phi(m)\phi(n)\).

接下来证明\(\phi\)是双射.

(1)证单射：任取\(a,b\in\mathbb{Z}\),使得\(g^a=g^b\),

又因为\(\mathbb{G}\)是无限阶的循环群，所以有\(a=b\),

所以任意一个\(a\in\mathbb{Z}\)只有唯有一个\(g^a\)与之对应，单射得证.

(2)证满射：任取\(g^n\in\mathbb{G}\),

所以在\(\mathbb{z}\)中存在唯一的\(n\)与之对应，所以\(\phi\)是满射的.

综上,\(\phi\)满足单射与满射，所以\(\phi\)是双射.

所i所以命题得证.